蚊取り線香の面積

1. 問題
2. 出題のポイント
3. PDFファイル
4. プリントのダウンロード

問題

太郎君と花子さんと先生の3人が教室で話をしています。これを読んで、後の問に答えなさい。

太　郎：昨日、家の片付けをしていたら蚊取り線香が出てきました。

先　生：ずいぶん季節外れですね。蚊取り線香はおもしろい形をしています。２枚がパズルのようにぴったりはまるようになっているのです。

太　郎：先生、蚊取り線香のようなうずまきの長さを求めることはできますか。

先　生：火をつける切り口に対して、外側と内側の長さが異なるので、正確な長さを求めることは難しいです。

太　郎：それなら、このうずまきをまっすぐの形にして、その長さだったらどうでしょう。真上から見たとき、切り口を縦の長さとして、蚊取り線香の面積を変えずにまっすぐのばして長方形にします。その長方形の横の長さなら求められそうです。

先　生：おもしろそうですね。では、本物の蚊取り線香ではなく、幅とすき問がすべて2cmのうずまき【図1】を使って長さを求めてみましょう。

花　子：長さを求めるために、まず長方形の面積が求められればよいのですね。どのように求めたらいいのでしょうか。

太　郎：少し工夫をしてみます。

〔問題1〕太郎くんは，【図１】のように，うずまきの中心を通るような直線ABを引きました。ABの長さは何ですか。

太　郎：直線ABを引くと、大きさがさまざまな半円がたくさんできますね。直線ABの左側と右側に、それぞれ１つずつ同じ形の半円があることが分かります。

先　生：よく気づきましたね。【図2】のように片側を2cmずらしてあげると左右に同じ半円が並びます。

太　郎：本当だ、ぴったりですね。これをうまく利用してうずまきの面積を求めてみます。

花　子：左上の（あ）の部分を含むおうぎ形の中心角は90度なので、（あ）の部分の面積も求められますね。

先　生：それでは、2人で協力してうずまきの面積を求めてみましょう。

〔問題2〕
（1）【図2】の（あ）の部分の面積は何cm²ですか。円周率は3.14とします。（2）【図1】のうずまきの面積は何cm²ですか。円周率は3.14とします。

太　郎：面積が分かったら，長方形の横の長さを求められます。切り口が2cmだから面積を２で割ればいいのですよね。

先　生：よくできましたね。ところで、この蚊取り線香に火をつけると、1時間で（あ）の部分が燃え尽きます。ここから、蚊取り線香が燃え尽きるまでの時間を計算してみましょう。

〔問題3〕【図2】の（あ）の部分が1時間で燃え尽きると考えるとき，【図１】の蚊取り線香全体が燃え始めてから燃え尽きるまでにかかる時間は何時間何分と考えられますか。途中の計算・考え方を書き、四捨五入して整数で求めなさい。ただし、火の燃え方は一定であるとし、うずまきの長さや面積の比を利用して求めることとします。

出題のポイント

渦巻き状の蚊取り線香の面積を求める問題です。誘導で2つに切って反対側にはめ込むことを導いているので、誘導に乗って解けば問題ないでしょう。
とはいえ、3.14の連続計算を整理できないと計算で苦戦します。
また、問題3の蚊取り線香が燃え尽きるまでの時間も、比例することは分かっても計算は多少面倒です。
小数の割り算の計算力を高めておくことが都立型適性検査には必須ですね。