条件整理と数の性質

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問題

花子さんと太郎君は、書写の時間に半紙に毛筆で書いた作品を掲示する係になりました。

花　子：この半紙30枚を、掲示板にどのように貼ったらいいかしら。

太　郎：掲示の仕方についての条件をまとめてみたよ。

花　子：最初に3か所の掲示板すべてを使用する場合を考えてみましょう。

太　郎：では、半紙の並べ方をノートに書いてみようか。

花　子：3か所の掲示板にそれぞれ縦2枚、横5枚を並べてみたわ。

太　郎：これ以外に、縦1枚、横10枚を並べる方法もあるね。3か所の掲示板を使用する場合は、条件に合う方法はこの2通りだけだね。

花　子：では、2か所の掲示板を使用する場合を考えてみましょう。まず、2か所とも縦3枚、横5枚を並べてみたわ。

太　郎：条件に合う方法はこれだけだね。

花　子：今までの並べ方を次のような表にまとめてみたわ。（表1）半紙の並べ方のうち、使用しない欄には斜線を引くことにしましょう。

表1　30枚の半紙の並べ方

太　郎：半紙が30枚のときの掲示の方法が分かったから、それ以外の枚数のときも考えてみようか。

花　子：それでは、32枚と27枚について、同じ条件で掲示の方法を考えてみましょう。

　〔問題1〕
32枚と27枚のどちらかを選び、条件を満たす掲示の方法と半紙の並べ方をすべて答えなさい。ただし、半紙の並べ方が3通り未満の場合は、半紙の並べ方のうち使用しない欄に、表1のように斜線を引きなさい。また、条件を満たす掲示の方法がない場合は、掲示の方法の欄と半紙の並べ方の欄のすべてに斜線を引きなさい。

太　郎：半紙の枚数によって、条件を満たす掲示の方法が変わってきそうだね。半紙の枚数が20枚以上40枚以下の場合について、これまで調べた27枚、30枚、32枚以外で、掲示の方法を調べてみようか。30枚のときの掲示の方法が分かったから、それ以外の枚数のときも考えてみようか。

花　子：半紙の枚数が30枚のときと同じように、3か所の掲示板にも2か所の掲示板にも掲示できる場合を探してみましょう。

太　郎：3か所の掲示板にも2か所の掲示板にも掲示できない枚数もあるね。

〔問題2〕
20枚以上40枚以下で、27枚、30枚、32枚以外の場合について、使用する掲示板が3か所、2か所いずれの場合にも掲示の方法が1通り以上あるような半紙の枚数を1つ答えなさい。また、それがどのような性質の数か答えなさい。